초대칭 게이지 이론

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 게이지 이론
3. 초대칭 (Supersymmetry)
4. 고차 초대칭 이론 (N > 1)
5. 예시
- 5.1. 순수 초대칭 게이지 이론
- 5.2. 물질을 포함한 초대칭 게이지 이론
참조

1. 개요

초대칭 게이지 이론은 게이지 대칭성과 초대칭을 결합한 이론으로, 입자물리학의 표준 모형을 넘어선 새로운 물리 현상을 설명하기 위한 시도이다. 게이지 이론, 초대칭, 그리고 게이지 불변성을 만족하는 초대칭 이론의 구성 원리를 포함한다. 베스-주미노 게이지와 미분 초형식을 사용하여 이론을 구성하며, 게이지장과 물질을 표현하는 방법을 다룬다. N > 1 초대칭 이론과 같은 고차 초대칭 이론도 존재하며, 순수 초대칭 게이지 이론, 슈퍼 QCD, 최소 초대칭 표준 모형(MSSM), NMSSM 등이 초대칭 게이지 이론의 예시로 제시된다.

더 읽어볼만한 페이지

초대칭 - 양성자 붕괴
양성자 붕괴는 대통일 이론에서 예측하는 가설적인 현상으로, 양성자가 더 가벼운 입자들로 붕괴하며 중입자수 보존 법칙을 위반하는 현상이나, 아직 실험적으로 관측되지는 않았지만, 슈퍼-카미오칸데 실험 등을 통해 양성자의 최소 수명 하한선을 설정하고 이론 모델을 제한하는 데 사용된다.
초대칭 - 최소 초대칭 표준 모형
최소 초대칭 표준 모형(MSSM)은 계층 문제를 해결하기 위해 도입된 표준 모형의 초대칭 확장으로, 게이지 결합 상수의 대통일, 암흑 물질 후보 제공, R-패리티를 통한 양성자 붕괴 안정성 설명, 연성 초대칭 깨짐 연산자 도입 등의 특징을 갖는다.

초대칭 게이지 이론
개요
분야	이론 물리학
하위 분야	양자장론
관련 주제	초대칭, 게이지 이론
주요 인물	율리우스 베스, 브루노 추미노, 피에르 라몬, 존 슈워츠, 앙드레 느뵈, 머레이 겔만
다른 이름	SUSY 게이지 이론
상세 내용
설명	초대칭을 갖는 게이지 이론
특성	초대칭, 게이지 대칭
수학적 구조	초대칭 대수, 리 초대수
관련 이론
표준 모형	최소 초대칭 표준 모형 (MSSM), 차등 최소 초대칭 표준 모형 (NMSSM)
더 큰 이론	초중력, 초끈 이론

2. 게이지 이론

게이지 이론은 게이지 대칭성을 가진 장론이다. 대칭성에는 크게 두 가지 유형, 즉 전역적 대칭과 국소 대칭이 있다. 전역적 대칭은 다양체의 모든 지점에 균일하게 적용되는 대칭성을 의미하는 반면, 국소 대칭은 위치에 따라 달라지는 대칭성을 가리킨다.

게이지 대칭성은 이러한 국소 대칭의 한 예시이다. 이 대칭성은 수학적으로 연속적인 대칭성을 설명하는 리 군으로 기술되며, 게이지 이론의 맥락에서 이 리 군은 해당 이론의 게이지 군이라고 불린다.

양자 색역학과 양자 전기역학은 게이지 이론의 잘 알려진 예시이다.

3. 초대칭 (Supersymmetry)

$Q|\text{페르미온}\rangle = |\text{보손}\rangle$

예를 들어, 초대칭이 존재한다면 광자(보손)에 초대칭 연산자 $Q$ 를 작용시키면 그 초대칭 짝인 포티노(페르미온)로 변환될 수 있으며, 그 반대의 변환도 가능하다.

이러한 초대칭 변환은 일반적인 4차원 시공간을 확장한 수학적 공간인 초공간에서 이루어진다. 초공간은 보손 상태들이 존재하는 공간( $\mathcal{W}^0$ )과 페르미온 상태들이 존재하는 공간( $\mathcal{W}^1$ )을 모두 포함하는 ${\mathbb{Z}_2}$ -등급 벡터 공간 $\mathcal{W}=\mathcal{W}^0 \oplus \mathcal{W}^1$ 으로 생각할 수 있으며, 각 공간은 해당 입자들의 상태를 나타내는 힐베르트 공간에 해당한다.

3. 1. 초대칭 게이지 이론의 기본 원리

게이지 이론은 국소 대칭(위치에 따라 달라지는 대칭성)을 가진 장론이다. 이때 대칭성은 리 군으로 설명되며, 이를 이론의 게이지 군이라고 부른다. 양자 색역학이나 양자 전기역학이 대표적인 예시다. 초대칭 게이지 이론은 이러한 게이지 불변성을 초대칭과 결합하려는 시도에서 출발한다.^[1] 이는 반정수 스핀을 가진 페르미온(물질 입자)과 정수 스핀을 가진 보손(힘 매개 입자)을 통합적으로 다루려는 노력의 일환으로, 복사(힘)와 물질의 통일을 추구한다. 즉, 게이지 벡터장(보손)과 그 슈퍼파트너(페르미온)가 내부 대칭군의 동일한 표현 안에 존재하도록 구성한다.

초대칭 게이지 이론에서 게이지 퍼텐셜(힘을 매개하는 장)은 벡터장이므로, 벡터 초다중항이라는 수학적 구조를 통해 표현된다. 이는 '프리퍼텐셜'(prepotential^영어)이라는 특별한 초장으로 기술되는데,^[1] 이는 특정 게이지 변환 규칙을 따른다. 이 프리퍼텐셜로부터 전자기학의 패러데이 텐서에 해당하는 '장세기'를 정의할 수 있다.^[1] 이 장세기는 '손지기 초장'(chiral superfield^영어)이라는 특별한 형태를 가진다.

이론의 동역학은 라그랑지언을 통해 기술된다. 게이지장의 운동 에너지 항은 이 장세기를 이용하여 표현할 수 있다.^[1] 만약 게이지 군이 아벨 군이라면, 페예-일리오풀로스 D-항이라는 추가적인 항이 라그랑지언에 포함될 수 있다.^[1]

물질 입자를 나타내는 손지기 초장이 게이지장에 대해 전하를 띠는 경우, 일반적인 운동 에너지 항은 게이지 불변성을 만족하지 않는다. 대신, 게이지 퍼텐셜을 포함하는 형태로 수정된 운동 에너지 항이 게이지 불변성을 만족하며 라그랑지언에 포함된다.^[1]

초대칭 게이지 이론을 구성하는 데 있어 중요한 과제는 일반적인 게이지 변환을 초대칭 변환과 일치시키는 것이었다. 베스-주미노 게이지는 이 문제를 해결하는 성공적인 방법을 제공한다. 이 게이지 고정 방식을 사용하면, '초게이지 변환'(supergauge transformation)이라는 특별한 변환에 대해 불변인 라그랑지언을 찾을 수 있다. 이 라그랑지언을 베레진 적분 규칙에 따라 적분하여 작용(action)을 구하고, 이를 통해 운동 방정식을 유도하여 이론의 전체적인 동역학을 분석할 수 있다.

최초의 초대칭 게이지 이론은 1974년 브루노 주미노와 세르지오 페라라, 그리고 압두스 살람과 제임스 스트라스디에 의해 각각 독립적으로 제안되었다.

3. 2. 미분 초형식 (Differential superforms)

미분 초형식(Differential superform)을 사용하면 초대칭 게이지 이론을 전통적인 양-밀스 이론과 유사하게 표현할 수 있다. 전체 초공간에 작용하는

U(1)

게이지 대칭을 가정해 보자. 접선 공간의 해석적 기저에서 공변 미분은

D_M=d_M+iqA_M

으로 주어진다. 여기서

A_M

은 1-초형식(superform) 게이지 연결이다.

카이랄 초장

X

는

\overline{D}_{\dot{\alpha}}X=0

제약 조건을 만족한다. 이 초장에 대한 적분 가능 조건은 다음과 같다.

:

\left\{\overline{D}_{\dot{\alpha}}, \overline{D}_{\dot{\beta}} \right\}=F_{\dot{\alpha}\dot{\beta}}=0.

유사하게, 반카이랄 초장에 대한 제약 조건은

F_{\alpha\beta} = 0

을 의미한다. 이는 곧

A_{\dot{\alpha}}=0

또는

A_{\alpha}= 0

으로 게이지 고정을 할 수 있음을 뜻하지만, 두 조건을 동시에 만족시킬 수는 없다. 이 두 가지 다른 게이지 고정 방식을 각각 게이지 I과 게이지 II라고 부른다.

게이지 I: $A_{\dot{\alpha}}=0$ . 이 게이지에서는 카이랄 초장에 대해 $\overline{d}_{\dot{\alpha}}X=0$ 이 성립한다.
게이지 II: $A_{\alpha}= 0$ . 이 게이지에서는 반카이랄 초장에 대해 $d_{\alpha}\overline{X} = 0$ 이 성립한다.

이론을 구성하기 위해 두 가지 다른 게이지를 동시에 사용한다. 즉, 카이랄 초장에는 게이지 I을 사용하고 반카이랄 초장에는 게이지 II를 사용한다. 만약 모든 필드에 대해 하나의 게이지만 사용했다면

\overline{X}X

항은 게이지 불변이겠지만, 카이랄 초장

X

는 게이지 I에, 반카이랄 초장

\overline{X}

는 게이지 II에 있으므로 직접 곱하면 게이지 불변이 아니다. 두 게이지를 연결하는 변환

e^{-V}

를 사용하여 게이지 불변인 운동 에너지 항을 다음과 같이 구성할 수 있다(여기서

q

는 전하).

:

\overline{X}e^{-qV}X

각 게이지에는 잔여 게이지 자유도가 남아있다.

게이지 I에는 $\overline{d}_{\dot{\alpha}}\Lambda=0$ 을 만족하는 잔여 게이지 변환 $e^{\Lambda}$ 가 있다.
게이지 II에는 $d_{\alpha}\overline{\Lambda} = 0$ 을 만족하는 잔여 게이지 변환 $e^{\overline{\Lambda}}$ 가 있다.

이러한 잔여 게이지 변환 하에서 두 게이지를 연결하는 '브리지(bridge)'

e^{-V}

는 다음과 같이 변환한다.

:

e^{-V}\to e^{-\overline{\Lambda}}e^{-V}e^{-\Lambda}.

만약 추가적인 제약 조건이 없다면, 브리지

e^{-V}

는 게이지 필드에 대한 모든 정보를 제공하지 않는다. 그러나

F_{\dot{\alpha}\beta}

와 관련된 추가 제약 조건을 부과하면, 이 브리지와 호환되는 게이지 필드는 (게이지 변환을 제외하고) 유일하게 결정된다. 이 경우 브리지는 게이지 필드와 정확히 동일한 정보를 제공한다.

3. 3. 게이지장

게이지 퍼텐셜은 벡터장이므로 벡터 초다중항을 이룬다. 즉

V=\bar V

를 만족하는 초장

V=2gV^at^a

로 서술한다. (

g

는 결합 상수,

t^a

는 게이지 리 대수의 기저) 이를 '''프리퍼텐셜'''(prepotential^영어)이라고 부른다. 이는 손지기 초장

\Lambda

로 주어지는 게이지 변환의 경우에는

:

\exp V\mapsto\exp(i\bar\Lambda)\exp V\exp(-i\Lambda)

와 같이 변환한다.^[1]

다음과 같이 패러데이 텐서

F_{\mu\nu}

에 해당하는 장세기

:

W_\alpha=-\frac14\bar D^2(\exp(-V)D_\alpha\exp V)

를 정의할 수 있다.^[1] 장세기

W

는 손지기 초장(chiral superfield^영어)이다.

W

와

\bar W

는 다음과 같이 변환한다.

:

W\mapsto\exp(i\Lambda)W\exp(-\Lambda)

.

따라서 게이지장의 라그랑지언의 운동 에너지 항을 다음과 같은 F-항으로 쓸 수 있다.^[1]

:

\frac14(W^2+\bar W^2)

.

또한, 게이지 군이 아벨 군일 경우에는 페예-일리오풀로스 D-항

:

-\kappa V

이 존재한다.^[1] (여기서

\kappa

는 상수다.)

3. 4. 물질

물질을 나타내는 손지기 초장을

X

라고 하자. 게이지 대칭이 없는 경우,

\bar XX

형태의 D-항은 라그랑지언의 운동 에너지 항을 나타낸다. 그러나 게이지 대칭이 있고

X

가 해당 게이지장에 대해 대전된 경우, 이 항은 게이지 불변이 아니다.

X

는 다음과 같이 변환한다.^[1]

:

X\mapsto\exp(i\Lambda)X

:

\bar X\mapsto\bar X\exp(-i\bar\Lambda)

.

따라서 다음과 같은 운동 에너지 D-항이 게이지 불변임을 알 수 있다.^[1]

:

\bar X\exp(V)X

.

입자 물리학에서는 두 종류의 입자 통계를 가진 입자들이 존재하는데, 바로 보손과 페르미온이다. 보손은 정수 스핀 값을 가지며, 여러 개의 보손이 공간의 한 지점을 동시에 점유할 수 있어 힘을 매개하는 입자로 여겨진다. 반면, 페르미온은 반정수 스핀 값을 가지며, 파울리 배타 원리에 따라 동일한 페르미온은 시공간의 한 위치를 동시에 점유할 수 없다. 보손과 페르미온 장은 물질로 해석된다. 이러한 특성 때문에 초대칭은 복사(보손이 매개하는 힘)와 물질(페르미온)을 통합하는 유력한 후보로 간주된다.

이 통합은 슈퍼차지 또는 초대칭 생성자로 알려진 연산자

Q

(또는 여러 연산자들)를 통해 이루어진다. 이 연산자는 개략적으로 다음과 같이 작용한다.

Q|\text{보손}\rangle = |\text{페르미온}\rangle

Q|\text{페르미온}\rangle  =  |\text{보손}\rangle

예를 들어, 초대칭 생성자는 광자(보손)를 포티노(페르미온)로 변환하거나 그 반대로 변환할 수 있다. 이러한 변환은 특정 (매개변수) 공간, 즉 초공간에서 일어난다. 이 초공간은

{\mathbb{Z}_2}

-등급 벡터 공간

\mathcal{W}=\mathcal{W}^0 \oplus \mathcal{W}^1

으로 표현되며, 여기서

\mathcal{W}^0

는 보손 입자들이 존재하는 힐베르트 공간이고

\mathcal{W}^1

는 페르미온 입자들이 존재하는 힐베르트 공간이다.

4. 고차 초대칭 이론 (N > 1)

고차 초대칭 이론(N > 1)에서는 벡터 초장이 일반적으로 게이지 장과 바일 페르미온뿐만 아니라, 최소한 하나의 복소수 스칼라장을 기술한다. 이러한 이론들은 고차원 초대칭과 연관될 가능성이 있다.

5. 예시

초대칭 게이지 이론에는 다양한 종류가 있으며, 크게 순수 게이지 장만을 포함하는 경우와 물질 페르미온을 포함하는 경우로 나눌 수 있다. 순수 초대칭 게이지 이론의 예로는 N=1, N=2, N=4 초대칭 양-밀스 이론 등이 있다. 물질을 포함하는 대표적인 이론으로는 슈퍼 QCD, MSSM, NMSSM 등이 있으며, 이는 표준 모형을 확장하여 새로운 입자들의 존재를 예측한다.

5. 1. 순수 초대칭 게이지 이론

N=1 초양-밀스
N=2 초양-밀스
N=4 초양-밀스

5. 2. 물질을 포함한 초대칭 게이지 이론

물질 페르미온을 포함하는 대표적인 초대칭 게이지 이론은 다음과 같다.

슈퍼 QCD: 양자 색역학(QCD)을 초대칭적으로 확장한 이론이다. 쿼크와 글루온 외에도 그들의 초대칭짝인 스쿼크와 글루이노를 포함한다.
MSSM(최소 초대칭 표준 모형): 입자 물리학의 표준 모형을 가장 경제적으로 초대칭화한 이론이다. 표준 모형의 모든 입자들(쿼크, 렙톤, 힉스 보손, 게이지 보손)에 대해 초대칭짝 입자의 존재를 예측한다. 이러한 새로운 초대칭 입자들을 실험적으로 발견하는 것은 현대 고에너지 물리학의 주요 목표 중 하나이며, 대한민국의 물리학 연구에서도 중요한 부분을 차지한다.
NMSSM(다음 최소 초대칭 표준 모형): MSSM에서 나타나는 일부 이론적 문제점들을 해결하기 위해, 힉스 보손과 상호작용하는 새로운 스칼라 입자를 추가하여 확장한 모형이다.

참조

_[1] 서적 Perspectives on Supersymmetry II World Scientific 2010-04
_[1] 서적 Perspectives On Supersymmetry https://archive.org/[...] World Scientific 1998-07

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com